椭圆参数方程

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操作方法

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  参数方程由来： 圆的参数方程[特殊情形，圆心(0,0)，半径R] {x=Rcosαy=Rsinα(α为参数，0≤α<2π) 其参数α的几何意义是圆上动点和圆心连线的旋转角，如下图所示；
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  圆的参数方程[一般情形，圆心(m,n)，半径R] {x=m+Rcosαy=n+Rsinα(α为参数，0≤α<2π) 注意：很多容易和极坐标的坐标(ρ,θ)中的θ混淆，如图所示，参数α=∠ACP；范围α∈[0,2π]
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  椭圆的参数方程 {x=acosϕy=bsinϕ(ϕ为参数，0≤ϕ<2π) 其参数ϕ的几何意义是对应的大圆或小圆半径的旋转角∠AOM，也就是椭圆的离心角．不是椭圆上动点和中心连线的旋转角∠AOP；切记！虽然∠AOM和∠AOP二者不相等，但是很显然这二者也是一一对应的，并且它们的范围都是[0，2π).
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  列子：已知椭圆的参数方程为{x=2costy=4sint (t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t=π3，点O为原点，则直线OM的斜率为3–√。 分析：这个说法是错误的，怎么纠正呢？
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  当t=π3时，代入得到x=2cosπ3=1，y=2sinπ3=23–√，故M(1，23–√)， 则kOM=y−0x−0=23–√。
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  化为参数方程： 介绍一个容易记忆的方法： 类比：cos2θ+sin2θ=1 当圆为x2+y2=4时，先转换为(x2)2+(y2)2=1， cos2θ+sin2θ=1 (x2)2+(y2)2=1 对应上式，得到cosθ=x2，sinθ=y2， 故圆的参数方程为{x=2cosθy=2sinθ(θ为参数)； 当然，我们还可以这样交叉对应， 得到sinθ=x2，cosθ=y2， 故圆的参数方程还可以为{x=2sinθy=2cosθ(θ为参数)；
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  【说明】①由此说明，当我们取的参数不一样时，圆的参数方程是不一样的， 即圆的参数方程可能不唯一。两种参数的含义不一定一样。 ②我们约定俗成的取法是第一种。 ③参数方程的参数有时候有明确的几何意义，有时候没有。 当圆为(x−a)2+(y−b)2=R2时， 先转换为(x−aR)2+(y−bR)2=1， 对应上式，得到cosθ=x−aR，sinθ=y−bR， 故圆的参数方程为{x=a+Rcosθy=b+Rsinθ(θ为参数)； 当椭圆为x2a2+y2b2=1时， 先转化为(xa)2+(yb)2=1， 对应上式得到cosθ=xa，sinθ=yb， 故椭圆的参数方程为{x=acosθy=bsinθ(θ为参数)；
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