勾股定理16种证明方法

35W次浏览推荐于2019.09.10

    操作方法

    • 01

      【证法1】(课本的证明) 做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即a²+b²+4x1/2ab=c²+4x1/2ab, 整理得a²+b²=c²。

      • 02

        【证法2】(邹元治证明) 以a、b 为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角1ab2形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形,它的面积等于(a+b)². ∴(a+b)²=4x1/2ab+c² ∴ a²+b²=c²。

        • 03

          【证法3】(赵爽证明) 以a、b 为直角边(b>a), 以c为斜 边作四个全等的直角三角形,则每个直角 1ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o, ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o, 2∴ ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于(b-a)². ∴(b-a)²=4x1/2ab+c² ∴ a²+b²=c²。

          • 04

            【证法4】(1876年美国总统Garfield证明) 以a、b 为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角1ab形的面积等于2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形, 12c2它的面积等于. 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC. ∴ ABCD是一个直角梯形,它的面积等于1/2(a+b)². ∴1/2(a+b)²=2x1/2ab+1/2c² ∴ a²+b²=c²。

            • 05

              【证法5】(梅文鼎证明) 做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED, ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BEG =180o―90o= 90o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c, ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即 ∠CBD= 90o. 又∵ ∠BDE = 90o,∠BCP = 90o, BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理,HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S,则 a²+b²=S+2x1/2ab, c²=S+2x1/2ab ∴a²+b²=c².

              • 06

                证法6】(项明达证明) 做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC,交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点 F作FN⊥PQ,垂足为N. ∵ ∠BCA = 90o,QP∥BC, ∴ ∠MPC = 90o, ∵ BM⊥PQ, ∴ ∠BMP = 90o, ∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90o. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o, ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o, ∴ ∠QBM = ∠ABC, 又∵ ∠BMP = 90o,∠BCA = 90o,BQ = BA = c, ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】(梅文鼎证明).

                • 07

                  【证法7】(欧几里得证明) 做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE, 交AB于点M,交DE于点 L. K∵ AF = AC,AB = AD, ∠FAB = ∠GAD, ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD, 12a∵ ΔFAB的面积等于2, ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半, ∴ 矩形ADLM的面积 =a² 同理可证,矩形MLEB的面积 =b². ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ c²=a²+b² 。

                  • 08

                    【证法8】(利用相似三角形性质证明) 如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D. 在ΔADC和ΔACB中, ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o, ∠CAD = ∠BAC, ∴ ΔADC ∽ ΔACB. AD∶AC = AC ∶AB, 即 AC²=ADXAB. 同理可证,ΔCDB ∽ ΔACB,从而有 BC²=BDxAB. ∴ AC²+BC²=(AD+DB)xAB=AB²,即 a²+b²=c²、

                    • 09

                      【证法9】(杨作玫证明) 做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC,AF交GT于F,AF交DT于R. 过B作BP⊥AF,垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直,垂足为E,DE交AF于H. ∵ ∠BAD = 90o,∠PAC = 90o, ∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90o,∠BCA = 90o, AD = AB = c, ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ DH = BC = a,AH = AC = b 由作法可知, PBCA 是一个矩形, 所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b,AP= a,从而PH = b―a. ∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA , RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA . ∴ DH = DG = a,∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o,∠DHF = 90o, ∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o, ∴ DGFH是一个边长为a的正方形. ∴ GF = FH = a . TF⊥AF,TF = GT―GF = b―a . ∴ TFPB是一个直角梯形,上底TF=b―a,下底BP= b,高FP=a +(b―a). 用数字表示面积的编号(如图),则以c为边长的正方形的面积为 c²=S₁+S₂+S₃+S₄+S₅ ① ∵ S₈+S₃+S₄=1/2[b+(b-a)]x[a+(b-a)]=b²-1/2ab S₅=S₉+S₈ ∴S₃+S₄=b²-1/2ab-S=b²-S₁-S₃ ② 把②代入①,得 C²=S₁+S₂+b²-S₁-S₈+S₈+S₉ =b²+S₂+S₉=b²+a² ∴ a²+b²=c².

                      • 10

                        【证法10】(李锐证明) 设直角三角形两直角边的长分别为a、b(b>a),斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号(如图). ∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o, ∴ ∠TBH = ∠ABE. R又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o, BT = BE = b, ∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o, ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠ ∴ ∠GHF = ∠DBC. ∵ DB = EB―ED = b―a, ∠HGF = ∠BDC = 90o, ∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 S₇=S₂. 过Q作QM⊥AG,垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90o,可知 ∠ABE = ∠QAM,而AB = AQ = c,所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 S₈=S₅. 由RtΔABE ≌ RtΔQAM,又得QM = AE = a,∠AQM = ∠BAE. ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o,∠BAE + ∠CAR = 90o,∠AQM = ∠BAE, ∴ ∠FQM = ∠CAR. 又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90o,QM = AR = a, ∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即S₄=S₆. C²=S₁+S₂+S₃+S₄+S₅, a²=S₁+S₆ b²=S₃+S₇+S₈, 又∵ S₇=S₂,S₈=S₅,S₄=S₆, ∴a²+b²=S₁+S₆+S₃+S₇+S₈ =S₁+S₄+S₃+S+₂S₅ =c², 即 a²+b²=c².

                        • 11

                          【证法11】(利用切割线定理证明) 在 RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c. 如图,以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90o,点C在⊙B上,所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理,得 AC²=AExAD =(AB+BE)(AB-BD) =(c+a)(c-a) = c²-a², 即b²=c²-a²,∴ a²+b²=c².

                          • 12

                            【证法12】(利用多列米定理证明) 在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c(如图). 过点A作AD∥CB,过点B作BD∥CA,则ACBD为矩形,矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理,圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,有 ABxDC=ADxBC+ACxBD, ∵ AB = DC = c,AD = BC = a, AC = BD = b, ∴ AB²=BC²+AC²,即 c²=a²+b².

                            • 13

                              【证法13】(作直角三角形的内切圆证明) 在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O,切点分别为D、E、F(如图),设⊙O的半径为r. ∵ AE = AF,BF = BD,CD = CE, ∴ AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF) = CE+CD= r + r = 2r, 即 a+b-c=2r, ∴ a+b=2r+c. ∴(a+b)²=(2r+c)² 即a²+b²+2ab=4(r²+rc)+c² ∵ S△ABE=1/2ab, ∴ 2ab=4S△ABE, 又∵ S△ABE=S△AOB+S△BOC+S△AOC =1/2cr+1/2ar+1/2br=1/2(a+b+c)r =1/2(2r+c+c)r=r²+rc, ∴4(r²+rc)=4S△ABC, ∴4(r²+rc= 2ab ∴a²+b²+2ab=2ab+c², ∴ a²+b²=c².

                              • 14

                                【证法14】(利用反证法证明) 如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D. 假设a²+b²不等于c².,即假设 AC²+BC²不等于AB²,则由 AB²=ABxAB=AB(AD+BD)=ABxAD+ABxBD 22可知 AC²不等于ABxAD,或者 BC²不等于ABxBD. 即 AD:AC≠AC:AB,或者 BD:BC≠BC:AB. 在ΔADC和ΔACB中, ∵ ∠A = ∠A, ∴ 若 AD:AC≠AC:AB,则 ∠ADC≠∠ACB. 在ΔCDB和ΔACB中, ∵ ∠B = ∠B, ∴ 若BD:BC≠BC:AB,则 ∠CDB≠∠ACB. 又∵ ∠ACB = 90o, ∴ ∠ADC≠90o,∠CDB≠90o. 这与作法CD⊥AB矛盾. 所以,AC²+BC²=AB²的假设不能成立. ∴ a²+b²=c²

                                • 15

                                  【证法15】(辛卜松证明) 设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分,则正方形ABCD (a+b)=a²+b²+2ab; 把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个的面积为C部分,则正方形ABCD的面积为 ∴ (a+b)²=4x1/2ab+c²=2ab+c², ∴ a²+b²+2ab=2ab+c². ∴a²+b²=c².

                                  • 16

                                    【证法16】(陈杰证明) 设直角三角形两直角边的长分别为a、b(b>a),斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形(b>a),把它们拼成如图所示形状,使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号(如图). 在EH = b上截取ED = a,连结DA、DC, 则 AD = c. ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a, ∴(b+a) DM = EM―ED = (b+a)―a = b. 又∵ ∠CMD = 90o,CM = a, ∠AED = 90o, AE = b, ∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC. ∴ ∠EAD = ∠MDC,DC = AD = c. ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o, M∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o, ∴ ∠ADC = 90o. ∴ 作AB∥DC,CB∥DA,则ABCD是一个边长为c的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90o, ∴ ∠BAF=∠DAE. 连结FB,在ΔABF和ΔADE中, ∵ AB =AD = c,AE = AF = b,∠BAF=∠DAE, ∴ ΔABF ≌ ΔADE. ∴ ∠AFB = ∠AED = 90o,BF = DE = a. ∴ 点B、F、G、H在一条直线上. 在RtΔABF和RtΔBCG中, ∵ AB = BC = c,BF = CG = a, ∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG . ∵c²=S₂+S₃+S₄+S₅ b²=S₁+S₂+S₆ a²=S₃+S₇ S₁=S₅=S₄=S₆+S₇, ∴a²+b²=S₃+S₇+S₁+S₂+S₆ =S₂+S₃+S₁+(S₆+S₇) =S₂+S₃+S₄+S₅ =c² ∴ a²+b²=c².

                                    • End

                                    免责声明:

                                    本页搜狗指南内容仅代表作者本人意见,若因此产生任何纠纷由作者本人负责,概与搜狗公司无关。本页搜狗指南内容仅供参考,请您根据自身实际情况谨慎操作。尤其涉及您或第三方利益等事项,请咨询专业人士处理。

                                    235点赞无帮助无帮助
                                    还没有个性签名哟